Photoshopとは違い、AffinityDesignerは設定せずにドキュメントを作ると白い背景のまま出力されてしまいますよね。AffinityDesignerで、新規ドキュメントと既存ドキュメントのどちらでも透過背景に変更することができます。
新規ドキュメントの場合

新しくドキュメントを作る際の「新規ドキュメント」ウィンドウの右カラム中段にある「カラー」タブの「透明な背景」にチェックを入れましょう。
既存のドキュメントの場合

既存のドキュメントを開いた状態で、左上のバーにある「ドキュメント設定…」のボタンをクリックします。

そして開いたウィンドウの中段で「カラー」タブを選び、「透明な背景」にチェックを入れましょう。